Pengertian Devinisi Determinan

Segi Geometri

Asumsikan kita mempunyai matriks nxn, n adalah bilangan bulat positif, dan kita buat plot atau kurva. Jika n=1, kita memiliki determinant matriks 1×1 yang bisa diartikan  matriks yang mempunyai 1 dimensi(panjang). Sehingga nilai dari determinant itu sendiri, adalah panjang dari titik O(titik awal) ke suatu titik(titik akhir). Misalnya kita mempunyai matriks [6], matriks 1×1, maka nilai determinant nya adalah 6.

Jika n=2, kita dapat menyebutnya matriks berdimensi 2( panjang dan lebar) dan asumsikan kita mempunyai matriks(x,y)-> (2,0) dan (0,4) kemudian kita membuat kurva xy dan kita plot matriks tersebut. Sekilas nampak bahwa, dari titik awal terhadap sumbu y mempunyai vector panjangnya 4 unit, dan terhadap sumbu x, vector panjangnya(lebar) 2 unit. Dengan demikian kita dapat membuat bangun datar dengan cara membuat titik dari penjumlahan 2 vektor->(2,4). Luas bidang datar itulah nilai dari determinant matriks 2×2.

Jika n=3, maka tentu saja matriks tersebut mempunyai 3 dimensi, panjang, lebar, tinggi. Dengan cara membentuk bidang datar-bidang datar(seperti pada n=2) dan pada akhirnya membentuk suatu bangun, kita dapat menentukan volume dari bangun tersebut dan itulah nilai determinant dari matriks 3×3.

Sebenarnya jika kita amati baik, n=1,2,3,…. Nilai determinant dari matriks tersebuat adalah “nilai ruang” dari matriks tersebut.

Untuk konsep, mirip dengan konsep  Euclidean Space, mungkin dapat menjadi refrensi.

Segi Aljabar

Jika dilihat dari segi Aljabar, determinant adalah jumlah nilai perkalian element matriks dari penyusunan kembali set permutasi n!. Mungkin sangat sulit jika kita membayangkan saja, untuk lebih jelas, mari kita lihat penyusunan dibawah.

Kita mempunya matriks A seperti dibawah.

|a11  a12  a13|

|a21  a22  a23|

|a31  a32  a33|

Matriks di atas mempunyai nilai n=3, sehingga kita dapatkan 6 buah susunan.(3! = 6). Ketika melakukan permutasi, jumlah switching ganjil maka dikalikan dengan “-1”, jika genap dikalikan dengan “+1”.

Permutasi ke-	Susunan Kolom	Susunan Baris	Jumlah Switching	Hasil Permutasi
1	1-2-3	1-2-3	0	a11*a22*a33
2	1-2-3	1-3-2	1	-a11*a23*a32
3	1-2-3	2-1-3	1	-a12*a21*a33
4	1-2-3	2-3-1	2	a12*a23*a31
5	1-2-3	3-1-2	2	a13*a21*a32
6	1-2-3	3-2-1	1	-a13*a22*a31

Dengan ini kita mendapatkan nilai determinant melalui menjumlahkan hasil dari permutasi di atas. Dengan cara yang sama kita dapat menentukan nilai determinant dari matriks nxn. Matriks dengan orde 4×4 berarti mempunyai 24 buah hasil permutasi, matriks dengan orde 5×5 berarti mempunyai 120 buah hasil permutasi, dan seterusnya tinggal menjumlahkan hasil tersebut. (Cara ini, juga dinamakan Leibniz Formula yaitu menjumlahkan hasil-hasil permutasi).